完美世界yxg 为什么三体世界不稳定，而我们的太阳系却如此稳定？

春秋战国以前，有个诸侯国叫齐国。 齐国有一个人，时常担心天塌下来，有人劝他说：“天积气于耳，气死则屈伸气，行则行。”整天在天上，还怕掉下来？”

齐人听后想了想，既然天是“气”的一部分（注意这里的“气”不是指气体，而是一种古老的哲学思想），怎么能保证星辰不砸下来？ ”那人道：“日月星辰，聚气中之璀璨者，纵然陨落，亦不可辱。

很多读者都明白，这是一个杞人忧天的故事，《列子》中就有记载。 今天，这个成语被用来讽刺那些毫无根据的担忧。

然而，由于古代科学的不发达，“日月星辰，亦照于聚能，虽坠也，不可谤”的陈旧解释，在今天已站不住脚。 现代天文学告诉我们，古人眼中的“星辰”表面温度至少有几千度，质量至少有太阳那么大（只有肉眼能观测到的）。 要是真的哪天掉下来，就真的要变成世界末日了。

可能有人会说，星星那么远，宇宙那么大，总不能没事就往地球的方向飞吧？ 天下无香草。

不仅如此，地球的活动还满足一个非常稳定的周期性规律——昼夜更替、四季更替。 这些规律自古以来就没有改变过。 无论公转还是自转，太阳系八颗行星都能严格遵守自己的位置，无论宇宙之海如何波涛汹涌，它们依然不动摇。 这一切都归功于太阳系的稳定性。 正是这种稳定造就了地球独特的环境，使地球无法脱离太阳系的怀抱。

看过刘慈欣小说《三体》的读者应该更清楚这种稳定的难度——封闭的三体系统是混沌系统（混沌系统的另一个例子是蝴蝶效应，请参考《混沌理论是什么——从蝴蝶效应说起》，也就是说，一个微小的扰动可能对系统的长期运动产生翻天覆地、不可预知的影响。

太阳系有八颗行星，还有很多矮行星（质量介于行星和小行星之间）、无数的小行星，甚至轨道偏心率很高的彗星。 情况要比三体系统复杂的多。 但这个复杂的系统能如此稳定，让人不得不敬畏自然。

稳定的太阳系，来源：baamboozle

那么为什么太阳系如此稳定呢？ 事实上完美世界yxg，这是一个非常复杂的数学问题。 为了加深读者的理解，我们先来看看三体问题为什么不稳定。

1. 不可靠的三体系统

小说《三体》（只有第一部）主要讲述了《三体》的故事。 三体人的文明科技高度发达，但由于生活在运动规律难测的三星系，三体人的生存环境时常动荡不安，不得不依靠“脱水”逃生。恶劣的环境。 在偶然获得地球的位置后，他们想在环境稳定的地球上殖民。

三体系统是由三个粒子在引力作用下组成的封闭系统。 这看起来很简单，为什么“法不可测”呢？ 我们先写下理想条件下三体系统（闭合，忽略粒径）满足的常微分方程：

其中x_i表示第i个粒子的位置坐标，一般为三维向量

这三个常微分方程本质上就是牛顿第二定律，不难理解。 但是即使只考虑二维平面上的三体问题，我们也需要求解3*2*2（方程个数*方程阶数*维数）=12个非线性方程。 除了一些特殊情况，没有办法找到精确解。 本质原因是三体问题的“守恒量”（如能量、动量、角动量等）与方程的数量相比太少，以至于几乎所有的三体问题都是不可积的系统（Integrable System），就像五次代数方程组没有根解一样，不可积微分方程组也没有解析解（某种意义上的精确解）。

可积系统的严格定义比较复杂，我会在第3章介绍。有兴趣的读者也可以参考阿诺德名著[1]或[2]的最后一章。

解析解不存在怎么办？ 没关系，这些解都可以通过数值模拟找出来。 为了再次简化问题，我们假设所有三个粒子都具有相同的质量。

可能有的读者会觉得，简化到这个地步，应该就能得到很好的答案了吧？ 但实际上，即便如此，不同的初值条件仍然可以对应完全不同的解。 这里的初始条件包含三个粒子的二维位置和速度信息，有3*2*2=12个自由度（维度）可供选择。 如此高的自由度，解决方案的性能自然大不相同。 有些解法随意得一塌糊涂，倒霉的三体人就遇到了这样的解法； 但有些解具有很强的周期性，例如（最上面的数据代表三个粒子的位置和速度）：

双曲三角形+大圆。 初始条件：

位置 -- (0.666, -0.082), (-0.025, 0.454), (0.003 -0.766)

速度 -- (0.841 0.029), (0.142 -0.492), (-0.983 0.462)

双螺旋+椭圆

还有一些比较简单的周期解：

对称三体运动

其他解决方案乍一看似乎很正常。 然而，华丽的外表往往最容易掩盖暗藏的杀机，只有时间才能让杀机浮出水面：

全面崩溃的三体系统

由于涉及的程序文件较多，小编暂时不分享这些代码。 不过由于三体问题乃至更一般的多体问题一直是活跃的研究课题，小编会在以后的文章中继续介绍。 接下来，我们回到“太阳系的稳定性”这个话题。

2.可靠的太阳能系统

从上一节的数值模拟可以看出，即使只考虑二维情况，假设每个粒子质量相同，三体问题仍然可以复杂到离谱。 如果我们将太阳系与三体问题进行比较，不难发现，太阳系的运动要比三体问题复杂得多——即使所有的卫星、小行星、矮行星、彗星和太阳系中的各种星际尘埃不计，太阳系也至少有一颗恒星和八颗行星，是一个九体系统。 即使我们假设九体系统仅限于二维平面，我们也不可能使每个粒子的质量相等。

但即便如此，地球已经围绕太阳转了数十亿年。 虽然这期间它经历了多次冰河时代，可能经历过无数次小行星撞击和伽马射线暴（大质量恒星引力坍缩产生），但它从来没有想过要飞出太阳系，而我比“爱你一万年”还要坚定。 是什么让太阳系如此稳定？

地球经历过的各种大规模灾难[3]

太阳系的稳定性看似是一个非常经典的力学问题，但没想到直到20世纪中叶才逐渐引起科学家的重视。 对这个问题的研究也标志着一个新的数学分支——动力系统的诞生和兴起。

为了研究太阳系的稳定性，苏联数学家柯尔莫哥洛夫（他也是第一个将概率论公理化的人）、阿诺德（VL Arnold）和德国数学家于尔根·莫塞尔提出了著名的KAM理论（KAM是这三个人的姓氏）。 他们三人都先后获得过沃尔夫数学奖（在数学领域的影响力仅次于菲尔兹奖）。

也许Komogorov的获奖更多的是概率论的公理化[4]

从数学角度看，KAM理论中的各种定义杂乱无章，涉及到“相空间流”、“微分形式”、“奇异摄动”，甚至“丢番图近似”等看似遥不可及的数学。 概念和定理的证明也很长，似乎没有数学美感。 但实际上，如果从太阳系稳定性的角度去理解，这个理论是非常美好的。

这是 Komogorov 的原始定理：

其中文译文稍后介绍[4]

Arnold和Moser扩展了Komogorov的结论，形成了KAM理论的框架。 上述定理虽然非常有名，但如果只从定义上去理解，很容易陷入数学分析的思维陷阱，很难理解这个定理与太阳系稳定性的关系。

三、KAM理论总结

KAM 理论的神圣之处在哪里？ 为什么科莫戈洛夫等人会得出上述结论呢？ 让我们首先考虑一般的 n 体系统。

我们已经知道三体系统已经是一个非常复杂的系统。 原因之一是三体系统不是可积系统（即守恒量不足），无法通过求解方程得到精确解。 在之前关于三体问题的讨论中，小编提到因为三体系统不是可积系统，所以找不到解析解。 既然可积系统是个好东西，那么有没有办法用可积系统来近似太阳系的三体问题，甚至九体问题呢？ 这是 Komogorov 等人的想法。

在此之前，让我们看一下可积系统的严格定义：

定义：令M为2n维辛流形（即高维曲面上的每个点加载一个辛矩阵作为测度），H为M上的光滑函数。若有n-1个函数F1, F2,...,Fn-1 与 H 线性无关（它们对应的切向量线性无关）。

从而制作泊松括号：

则称H为可积系统（Integrable System）。 H和F1、F2、……、Fn-1被称为第一积分（First Integral），它们可以看作是某种“守恒量”。

线性独立性和零泊松括号这两个条件都非常重要。 泊松括号为零，保证F1,F2,...,Fn-1确实可以看作是“守恒量”； 线性独立性确保可积系统具有足够的守恒量。 这里，H 通常指的是整个系统的总能量，读者会在下面找到更多的见解。

如果你不理解上面的定义，你还不如简单地把一个可集成的系统看成是一个“好”的系统。 另外，我们需要对太阳系做一些简化：

1、只考虑太阳和八颗行星的运动，所有行星都看成一个点，假设太阳是静止的；

2、把八大行星的轨道看成圆盘；

3.忽略行星之间的相互作用。

因此，太阳与行星的相互作用可以简化为下图[5]：

为了分析n体问题的动力学，我们使用哈密顿力学系统来描述系统：

有哈密顿力学基础的读者可以发现，与位置动量共轭不同的是，这里将角度和角动量视为系统的两个自变量。 原因是行星的轨道都是圆形的，便于分析。 如果你对哈密顿力学不熟​​悉，可以直接忽略这一段。

由于角动量都是常数（角动量守恒），我们只需要考虑角度的变化。 请注意，行星的公转是周期性的，因此它是时间的周期函数。 另一方面，n颗行星对应n个角，所以控制太阳系的动力系统完全控制在一个n维轮胎表面Tn=S1x S1x ... x S1上。

如果以上所有的描述都用数学的语言来描述，我们就得到了著名的刘维尔-阿诺德定理（也称为不变轮胎定理、不变环面定理）。

当然，轮胎表面是什么样子，取决于不同角动量的数值。 然而，太阳系的稳定性问题就这样转化为轮胎表面运动轨迹（流）的稳定性——如果运动轨迹在小扰动下仍能保持周期性，则证明行星轨道在小扰动下是稳定的。小干扰。 还能保持周期性的革命吗？

那么如何形容这样的“小风波”呢？ 我们知道整个太阳系的总能量守恒（假设太阳能为0），所以我们可以将哈密顿量作为太阳系的总能量H_0：

这里和J是n维向量。 值得注意的是，上面定义的太阳系“总能量”只包括太阳对行星的引力势能，不包括行星之间的相互作用。 我们可以将“小扰动”描述为对总能量项的扰动，因此扰动后的总能量变为：

Komogorov等人的初衷是利用上述关系将太阳系中的所有小扰动近似为一个可积系统，也称为近可积系统。 事实上，下面的定理保证了 H_0(J) 是一个可积系统：

显然H_0(J)不依赖，是可积系统。 完美的！

虽然 KAM 定理相当神秘，但我们现在足以揭开它的面纱：

很容易验证，太阳系“总能量”H_0(J)的Hessian行列式是非退化对角矩阵，因此满足上述定理的条件。 这个定理告诉我们，太阳系中“大多数”行星在轻微的扰动下仍能周期性地绕太阳公转。 这也是太阳系稳定的原因之一。

但“多数”有多少呢？ 这取决于行星的具体公转周期，与数论中的丢番图近似有关。

这个定理告诉我们，“绝大多数”是指频率向量满足定理3的所有轨道。根据定义可知，任意两颗行星的周期比至少必须是一个无理数，否则太阳系不一定那么稳定。 这种周期性轨道称为非共振。

本章所有定理的证明参见参考文献[1, 6]。

4. KAM 理论的局限性

从上一章我们可以看出，KAM理论是天体力学与数学的完美结合。 该理论从天体力学的角度巧妙绕过多体问题的复杂性，直接从稳定性的角度研究行星的运动规律，可谓独树一帜； 从数学的角度来看，该理论融合了现代数学中的诸多概念，极大地推动了动力系统学科的发展，获得三项沃尔夫数学奖实至名归。

不过，上面介绍的KAM理论只是最经典的框架，并不能完全证明太阳系的稳定性。 原因之一在于对“小扰动”的认识。 例如完美世界yxg，假设太阳系是封闭的，那么这种“小扰动”应该来自于行星之间的相互作用，并且由于行星之间的距离是不断变化的，在定理2中，扰动项H_1应该取决于距离，即是：

r_i代表第i颗行星到太阳的距离

行星距离不同造成的“扰动”也不同

如果“小扰动”项如上修正，定理2仍然成立，那么太阳系的“总能量”项H_0也必然取决于距离r，甚至是行星的运动速度. 由于前面定义的H_0只依赖于角动量J，而H_0对距离和速度变量的导数均为0，所以H_0的Hessian矩阵高度退化，不满足定理2的条件，可以据说一夜之间回到了解放前。

或许正因如此，Arnold在[6]中提出了一种新的KAM理论，在一定程度上解决了这个问题。 但其涉及的技术细节较多，对扰动项提出了较为严格的数学条件，实用性仍然有限。

总结

作为天文学的一个分支，天体力学的鼎盛时期大概是文艺复兴时期，也就是哥白尼和开普勒的时代，距今已有400多年的历史。 随着广义相对论的引入和射电天文学的发展，现代天文学的主要关注点发生了很大变化（暗物质和暗能量、伽马射线暴、引力波等），但传统天体力学仍然存在很多问题尚未解决。 完全解决，包括太阳系稳定性问题。 从这个角度看，KAM理论可以看作是天体力学的复兴。

无论是n体问题还是KAM理论，虽然它们的物理背景都是基于经典力学，但乍一看似乎已经落伍了。 但是，从这篇论文中我们可以看出，这两个领域还存在很多值得研究的问题。 另一方面，这两种“经典”理论都极大地推动了现代数学和其他自然科学的发展，例如动力系统、凝聚态物理（尤其是量子多体问题）和更普遍的非线性科学。

再深奥复杂的理论和概念也有其内在美，但很多理论就像白居易笔下的琵琶女。 在“犹抱琵琶半遮面”的娇羞下，没有“六宫粉黑无色”的杨贵妃那么张扬的美貌。

参考：

[1] VL阿诺德，《经典力学的数学方法》，祁敏友译，高等教育出版社，2006。

[2] Jerrold E. Marsden 和 Ralph Abraham，《力学基础》，1994 年。

[3]

[4]

[5] 马田、王寿红，《非线性演化方程的稳定性与发散性》，现代数学基础丛书，科学出版社，2006。

[6]阿诺德，VI（1963b）。 经典和天体力学中的小除数问题。 俄罗斯数学。 调查 18：85-191。

[7]%27s_approximation_theorem。